二进制表示法和二分搜索算法实现百水查毒需求

最近看到这么一个面试问题:“有 100 瓶水，其中 1 瓶有剧毒，如何最快找到它”。那么在我们专业领域中，应该如何去解决呢？

首先，在我看来这个问题是比较不严谨的，我们不妨给他加点条件：
1.喝下剧毒后不会立刻死亡，而是会在一定时间后升天（给予实验足够多的操作时间）。
2.剧毒可以在被无限稀释后依然致死。
3.我们有若干个大杯子和若干只食水量无限且健康无传染病的小白鼠
4.大杯子和小白鼠是需要一定的金币去兑换。与金币的比例皆为 1：1。
本文来研究一下如何使用最少的金币，完成这个需求。

利用二进制表示特性

世界上只有 10 种人： 懂二进制的 不懂二进制的

当我们使用二进制表示数字时，每个数字位都代表一个权值。在这个问题中，我们有 100 瓶水，需要找出哪瓶水有毒。我们可以用二进制表示来编码瓶子的编号，从而实现高效的解决方案。

让我们从最简单的情况开始，假设我们只有 10 瓶水（编号 1 到 10 ）。10 (瓶水)为 2^3(8) 和 2^4(16) 之间，所以需要使用 4 位二进制表示。同时我们需要使用 4 个大杯子以及 4 只小白鼠。编号从”0001” 到 “1010”（1 到 10 的二进制表示）。例如第 5 瓶水，它的编号是”0101”。

我们需要使用 4 个编号分别为 “1”, “2”, “3”, “4” 的大杯子，每个大杯子分别负责 4 位二进制的第 1、2、3、4 位为 1 的情况从最低位（个位）到最高位（千位）。

随后我们需要根据瓶子的编号，依次在大杯子中倒入瓶内的水。例如，第 2 瓶水的编号为 “0010”，那么这瓶水需要在编号为 “2” 的大杯子中倒入一些水，第 7 瓶水为 “0111”，那么则需要在编号为 “1”、编号为 “2” 以及编号为 “3” 的大杯子中分别倒入一些水。

在做完该操作后各个大杯子将有以下编号的瓶子中的水：

编号为 "1" 的大杯子中有：瓶子编号为 1(0001)、3(0011)、5(0101)、7(0111) 的水
编号为 "2" 的大杯子中有：瓶子编号为 2(0010)、3(0011)、6(0110)、7(0111) 的水
编号为 "3" 的大杯子中有：瓶子编号为 4(0100)、5(0101)、6(0110)、7(0111) 的水
编号为 "4" 的大杯子中有：瓶子编号为 8(1000) 的水

(各编号及其4位二进制：
编号 1：0001
编号 2：0010
编号 3：0011
编号 4：0100
编号 5：0101
编号 6：0110
编号 7：0111
编号 8：1000)

接下来，我们将这 4 个大杯子分配给 4 只小白鼠，每个小白鼠负责饮用所分配的大杯子中的水，依然是从最低位（个位）到最高位（千位）。

通过观察每只小白鼠的死活情况，我们可以确定哪些位置上有毒。在这个例子中，假设升天的是喝了编号为 “1”、编号为 “2” 以及编号为 “3” 的三只老鼠，且升天为 1 存活为 0，那么(转化为二进制表示)就是 “0111”，转化为十进制就是 7，表示瓶子编号为 7 的有毒。

那么回到原问题，当有 100 瓶水并且其中一瓶有毒时，我们可以将每瓶水的编号表示为一个 7 位的二进制数（因为 2^7 = 128 > 100，所以 7 位足够），且我们需要 7 个大杯子以及 7 只小白鼠。我们将这些编号按照从 1 到 100 的顺序分配给瓶子并将其转换成二进制。随后与上方一致，根据瓶子的编号，依次在大杯子中倒入瓶内的水并分配给每只小白鼠饮用。最后观察 7 只小白鼠的死活情况。如果第 1 只、第 3 只以及第 7 只小白鼠都死了，那么我们就知道有毒的水瓶编号的二进制表示是 “1000101”，转化为十进制就是 69，也就是第 69 瓶水为剧毒。

该方法需要 floor(log2(N)) + 1 个大杯子以及同等数量小白鼠。(log2 表示以2为底的对数，floor 表示向下取整操作)。在该需求中，共需要 7 + 7 = 14 枚金币。

可能有读者会想，实际生活哪有那么麻烦。找 100 只小白鼠拿个杯子(不污染水)挨个喂(不用一只的原因是存在毒发时间)，比你这快多了。虽然这样快一些，但需要 101 枚金币。（如果领导给你 101 枚金币，你只花了 14 枚，剩下的 87 枚呢？嘿嘿……）

使用二进制表示法的效率并不佳，因为需要对水瓶进行重复操作。且十分浪费水资源，每个水瓶转换的二进制含有 1 的都需要倒出水。假设我们每次只需要倒出 1 滴水，我们来计算一下总共需要倒出多少滴水。

/**
 * @author -侑枫
 * @date 2023/8/19 22:35:19
 */
public class CountOnesInBinary {
    public static int countOnes(int num) {
        int count = 0; 
        while (num > 0) {
            // 通过与运算检查二进制的最低位是否为 1
            if ((num & 1) == 1) {
                count++;
            }
            // 将整数右移一位，相当于将二进制位向右移动一位
            num >>= 1; 
        }
        return count;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 总共的二进制中 1 的个数
        int totalOnes = 0; 
        for (int i = 1; i <= 100; i++) {
            totalOnes += countOnes(i);
        }
        System.out.println("从 1 到 100 的二进制中总共有 " + totalOnes + " 个 1。");
    }
}

执行结果如下：

从 1 到 100 的二进制中总共有 319 个 1。

Process finished with exit code 0

使用了 319 滴水。
那么有没有更快一些，且使用经济差不多的方法呢？有的，比如：
赌徒：喝下去死了就是毒药，没死就是水
企业家：开实习证明让大学生来喝
厨师：水烧滚后不会变色
化学家：做实验提纯
律师：倒掉一瓶弄死一只，有人喝到就告他诽谤
咳咳~~ 开个玩笑，当然是：

使用二分搜索算法

二分搜索法（Binary Search）是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它通过将数组分成两半并比较中间元素与目标元素的大小关系，然后根据比较结果来确定目标元素在数组的哪一半，从而缩小搜索范围。这个过程不断地将搜索范围缩小一半，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在于数组中。

那么该算法在我们的需求中要怎么去使用呢？在操作前我们需要将这 100 杯水编号为 1 到 100。

步骤 1：需要使用第一个大杯子，将中间的瓶子(第 50 瓶水)倒入一滴水，并给一只小白鼠喝。如果这杯水是有毒的，那么问题就解决了。如果小白鼠没有升天，则进行下一步骤。

此刻拥有资源(大杯子*1 小白鼠*1)

此刻已使用资源(大杯子*1 小白鼠*1)

步骤2：如果这杯水不是有毒的，根据二进制搜索的原理，你知道有毒水杯在剩余的99杯水中。将其分成平均两份，编号 1 到编号 49 各倒入一滴到大杯子中给小白鼠引用，再取一个新的大杯子在其内倒入编号 51 至 100 的水瓶中的水给另一只小白鼠引用。若第一只小白鼠升天，则编号 50 到编号 100 的水瓶无毒，反之则编号 1 到编号 50 无毒。处理丢弃升天的小白鼠以及毒的大杯子。

此刻拥有资源(大杯子*1 小白鼠*1)

此刻已使用资源(大杯子*2 小白鼠*2)

步骤 3：接下来，重复步骤 1 的动作。假设第 1 到 49 中有毒，将中间的瓶子(第 25 瓶水)倒入一滴水，并给一只小白鼠喝。如果这杯水是有毒的，那么问题就解决了。如果小白鼠没有升天，则进行下一步骤。

此刻拥有资源(大杯子*1 小白鼠*1)

此刻已使用资源(大杯子*2 小白鼠*2)

步骤 4：接下来，重复步骤 2 的动作。将其分成平均两份，编号 1 到编号 24 各倒入一滴到大杯子中给小白鼠引用，再取一个新的大杯子在其内倒入编号 26 至 49 的水瓶中的水给另一只小白鼠引用。观察小白鼠存活情况，并处理丢弃升天的小白鼠以及毒的大杯子。

此刻拥有资源(大杯子*1 小白鼠*1)

此刻已使用资源(大杯子*3 小白鼠*3)

……

接下来，不断重复以上操作，通过不断将搜索范围缩小一半，你可以在最坏的情况下最多进行 7 次测试就找到有毒的水杯。这种方法比二进制表示法要更高效，节省了从水瓶倒水的次数，且通过二分查找将搜索范围迅速缩小，从而节省了时间和资源。

那么最终，在最好的情况下，我们只需要使用 1 个大杯子以及同等数量的小白鼠，而最坏的情况，我们将使用到最多 7 个大杯子以及同等数量的小白鼠。即最少 2 枚金币，最多 14 枚金币的情况下完成这个需求。相比二进制表示法一定为 7 的情况，存在一定的优化。且对水资源的浪费一定存在缓解。

那么相比二进制表示法，该方法能节省多少水资源呢？我们通过代码来计算一下：

public static void main(String[] args) {
    int initialValue = 100;
    int result = 0;

    while (initialValue > 2) {
        result += initialValue;
        initialValue /= 2;
    }

    result += 2;

    System.out.println("最多需要倒出：" + result+" 滴水");
}

执行结果：

最多需要倒出：198 滴水

Process finished with exit code 0

相比上文的 319 滴水，是不是节省了不少水资源呢？

这位打工仔，你也不想你的老板发现你找一瓶剧毒倒了那么多水吧？
使用二分搜索算法我们能在节省浪费水，又节省金币的情况下，更完美地完成”百水查毒”的需求。

想要通过动画了解二分搜索算法的执行，可以访问以下链接:搜索排序列表

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最后附上本文所写源代码：二进制表示法和二分搜索算法实现百水查毒需求